本质矩阵 完整推导

本质矩阵的几何意义及其性质和分解 - 知乎

一、图中几何元素定义

1、相机与坐标系

2、关键向量定义

3、刚体变换关系（核心向量等式）

两个相机坐标系之间的刚体变换满足：

那么我们可以用X1 来表示X2

这个公式很重要

这里要补充一下，不然会看不懂

4、归一化投影关系

三维点与归一化像平面上的投影点满足比例关系：

其中 \(\lambda_1, \lambda_2 > 0\) 是点 P 到两个相机光心的深度（不为零的标量）

二、叉乘与反对称矩阵

对于任意三维向量定义其反对称矩阵

三、几何约束：对极平面的共面条件

四、完整推导：从共面条件到本质矩阵

步骤 1：代入刚体变换关系

并将其转化为反对称矩阵

步骤 2：展开并利用自叉乘为零的性质消项

左视角的形式

步骤3：标准跨视图对极约束

步骤 4：定义本质矩阵 E

五、八点法求解本质矩阵

1、将对极约束展开为线性方程

其结果是：

2、构建超定系数矩阵A

为了求解方便我们可以写成矩阵的方式Ae=0：

3. 求解思路（SVD 分解）

4、本质矩阵秩约束修正

5、本质矩阵E恢复R t