摘要：本文档是高等代数全册的精细化中英对照术语手册，涵盖多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换和欧几里得空间八大核心篇章。每篇按知识点分层编排，提供精确的中英文术语对照，适合本科预习、期末复习和考研系统背诵。文档排版规范、层级清晰，可直接复制到Word/WPS保存为标准文档。
第一篇：多项式理论 Polynomial Theory
一、数域 Number Field
- 数域 —— Number field
- 有理数域 —— Field of rational numbers ℚ
- 实数域 —— Field of real numbers ℝ
- 复数域 —— Field of complex numbers ℂ
- 整数环 —— Ring of integers ℤ
- 数域的判定条件 —— Criterion of number field
二、一元多项式 Polynomial in One Variable - 一元多项式 —— Polynomial in one variable
- 项 —— Term
- 系数 —— Coefficient
- 常数项 —— Constant term
- 首项 —— Leading term
- 首项系数 —— Leading coefficient
- 多项式次数 —— Degree of polynomial deg f(x)
- 零多项式 —— Zero polynomial
- 零次多项式 —— Zero-degree polynomial (constant non-zero polynomial)
- 多项式相等 —— Equality of polynomials
- 多项式加法 —— Addition of polynomials
- 多项式减法 —— Subtraction of polynomials
- 多项式乘法 —— Multiplication of polynomials
- 多项式次数公式 —— Degree formula for product
- 多项式环 —— Polynomial ring P[x]
三、多项式整除 Divisibility of Polynomials - 整除 —— Divisible
- 被除式 —— Dividend
- 除式 —— Divisor
- 商式 —— Quotient polynomial
- 余式 —— Remainder polynomial
- 带余除法 —— Division algorithm with remainder
- 整除基本性质 —— Basic properties of divisibility
- 公因式 —— Common divisor
- 最大公因式 —— Greatest common divisor (GCD)
- 辗转相除法 —— Euclidean algorithm for polynomials
- 贝祖等式 —— Bézout identity for polynomials
- 互素多项式 —— Coprime polynomials
- 互素充要条件 —— Necessary and sufficient condition for coprimality
- 互素多项式性质 —— Properties of coprime polynomials
- 公倍式 —— Common multiple
- 最小公倍式 —— Least common multiple (LCM)
四、不可约多项式与因式分解 Irreducible Polynomial & Factorization - 不可约多项式 —— Irreducible polynomial over number field
- 可约多项式 —— Reducible polynomial
- 不可约多项式性质 —— Properties of irreducible polynomials
- 唯一因式分解定理 —— Unique factorization theorem for polynomials
- 标准分解式 —— Standard factorization form
- 重因式 —— Multiple factor
- 单因式 —— Simple factor
- 重数 —— Multiplicity of factor
- 多项式导数 —— Derivative of polynomial
- 重因式判定定理 —— Criterion for multiple factors
- 分离重因式算法 —— Algorithm to separate multiple factors
五、多项式函数与根 Polynomial Function & Roots - 多项式函数 —— Polynomial function
- 多项式在点的值 —— Evaluation of polynomial at a point
- 余数定理 —— Remainder theorem
- 因式定理 —— Factor theorem
- 多项式根 —— Root of polynomial
- 多项式零点 —— Zero point
- 单根 —— Simple root
- 重根 —— Multiple root
- 根的重数 —— Multiplicity of root
- 多项式根的个数定理 —— Theorem on number of roots of polynomial
- 多项式恒等定理 —— Identity theorem for polynomials
六、复数域、实数域上多项式 Polynomials over ℂ,ℝ - 代数基本定理 —— Fundamental theorem of algebra
- 复多项式标准分解 —— Standard factorization over complex field
- 共轭复根定理 —— Conjugate root theorem for real polynomials
- 实域不可约多项式 —— Irreducible polynomial over real field
- 实多项式标准分解 —— Standard factorization over real field
七、有理数域上多项式 Polynomials over ℚ - 本原多项式 —— Primitive polynomial
- 高斯引理 —— Gauss’s lemma
- 有理根定理 —— Rational root theorem
- 艾森斯坦判别法 —— Eisenstein irreducibility criterion
- 变量替换艾森斯坦判别法 —— Eisenstein criterion after variable substitution
- 整系数多项式可约性定理 —— Reducibility theorem for integer-coefficient polynomials
八、多元多项式 Multivariate Polynomials - n元多项式 —— n-variable polynomial
- 单项式 —— Monomial
- 单项式次数 —— Total degree of monomial
- 多元多项式次数 —— Total degree of multivariate polynomial
- 字典排序 —— Lexicographic order
- 齐次多项式 —— Homogeneous polynomial
- 对称多项式 —— Symmetric polynomial
- 初等对称多项式 —— Elementary symmetric polynomial
- 对称多项式基本定理 —— Fundamental theorem of symmetric polynomials
- 牛顿公式 —— Newton’s identities
- 反对称多项式 —— Antisymmetric polynomial
- 轮换多项式 —— Cyclic polynomial
第二篇：行列式 Determinant
一、排列 Permutation - n级排列 —— Permutation of order n
- 逆序 —— Inversion
- 逆序数 —— Number of inversions
- 奇排列 —— Odd permutation
- 偶排列 —— Even permutation
- 对换 —— Transposition
- 相邻对换 —— Adjacent transposition
- 对换改变排列奇偶性 —— Transposition flips parity of permutation
- n级对称群 —— Symmetric group Sₙ
- 排列奇偶性定理 —— Parity theorem of permutations
二、n阶行列式 n-order Determinant - 二阶行列式 —— Second-order determinant
- 三阶行列式 —— Third-order determinant
- n阶行列式定义 —— Definition of n-order determinant
- 行列式项 —— Term of determinant
- 行列式符号 —— Sign of term
- 行列式矩阵记号 —— Matrix notation of determinant |A|, det A
三、行列式基本性质 Basic Properties of Determinant - 转置行列式 —— Transpose determinant det Aᵀ=det A
- 换行性质 —— Swap two rows flips determinant sign
- 两行相同行列式为零 —— Zero determinant with two identical rows
- 数乘一行行列式性质 —— k times one row multiplies determinant by k
- 两行成比例行列式为零 —— Zero determinant with proportional rows
- 行拆分可加性 —— Additivity by row decomposition
- 行倍加变换行列式不变 —— Row elimination does not change determinant
- 行列式列性质 —— Column properties (consistent with row properties)
四、余子式与代数余子式 Minor & Algebraic Cofactor - 余子式 —— Minor Mᵢⱼ
- 代数余子式 —— Algebraic cofactor Aᵢⱼ=(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ
- 行列式按行展开定理 —— Laplace expansion along row
- 行列式按列展开定理 —— Laplace expansion along column
- 异行余子式正交性 —— Orthogonality of cofactors across different rows
五、特殊行列式 Special Determinants - 对角行列式 —— Diagonal determinant
- 上三角行列式 —— Upper triangular determinant
- 下三角行列式 —— Lower triangular determinant
- 分块对角行列式 —— Block diagonal determinant
- 分块三角行列式 —— Block triangular determinant
- 范德蒙德行列式 —— Vandermonde determinant
- 反对称行列式 —— Skew-symmetric determinant
- 循环行列式 —— Cyclic determinant
六、克拉默法则 Cramer’s Rule - n元线性方程组 —— n-variable linear system
- 系数行列式 —— Coefficient determinant
- 克拉默法则 —— Cramer’s rule
- 齐次线性方程组 —— Homogeneous linear system
- 非齐次线性方程组 —— Nonhomogeneous linear system
- 齐次方程组非零解条件 —— Condition for nontrivial solution of homogeneous system
第三篇：线性方程组 System of Linear Equations
一、消元法 Elimination Method - 线性方程组一般形式 —— General form of linear system
- 增广矩阵 —— Augmented matrix Ā
- 系数矩阵 —— Coefficient matrix A
- 常数项列向量 —— Constant vector b
- 初等行变换 —— Elementary row operation
- 行阶梯形矩阵 —— Row echelon form
- 简化行阶梯形 —— Reduced row echelon form (RREF)
- 高斯消元法 —— Gaussian elimination
- 高斯-若尔当消元法 —— Gauss-Jordan elimination
二、矩阵的秩 Rank of Matrix - k阶子式 —— k-order minor
- 矩阵的秩 —— Rank of matrix r(A), rank(A)
- 秩的等价定义 —— Equivalent definitions of rank
- 初等变换保秩性 —— Elementary transformations preserve rank
- 行秩 —— Row rank
- 列秩 —— Column rank
- 行秩等于列秩定理 —— Row rank equals column rank
- 矩阵秩不等式 —— Inequalities for matrix rank
- 满秩矩阵 —— Full-rank matrix
- 降秩矩阵 —— Rank-deficient matrix
三、线性方程组解判定 Solvability Criterion - 方程组有解判定定理 —— Consistency theorem: r(A)=r(Ā)
- 方程组无解 —— No solution r(A)<r(Ā)
- 方程组唯一解 —— Unique solution r(A)=r(Ā)=number of variables
- 方程组无穷多解 —— Infinitely many solutions r(A)=r(Ā)<number of variables
- 自由未知量 —— Free unknown variable
- 约束未知量 —— Constrained unknown variable
四、n维向量空间 n-dimensional Vector Space - n维向量 —— n-dimensional vector
- 行向量 —— Row vector
- 列向量 —— Column vector
- 向量加法 —— Vector addition
- 数乘向量 —— Scalar multiplication of vector
- 零向量 —— Zero vector 0
- 负向量 —— Negative vector −α
- 向量线性运算八条公理 —— Eight axioms of linear operations
五、向量线性相关性 Linear Dependence of Vectors - 线性组合 —— Linear combination
- 线性表出 —— Linear representation
- 线性相关 —— Linearly dependent
- 线性无关 —— Linearly independent
- 线性相关充要条件 —— Necessary & sufficient condition for linear dependence
- 部分相关则整体相关 —— Partial dependence implies global dependence
- 整体无关则部分无关 —— Global independence implies partial independence
- 向量组等价 —— Equivalence of vector groups
- 极大线性无关组 —— Maximal linearly independent subset
- 向量组的秩 —— Rank of vector group
- 替换定理 —— Steinitz exchange lemma
- 向量组秩不等式 —— Rank inequalities for vector groups
六、线性方程组解的结构 Structure of Solutions - 齐次方程组解空间 —— Solution space of homogeneous system
- 基础解系 —— Fundamental system of solutions
- 基础解系向量个数公式 —— Number of fundamental solutions = n−r(A)
- 齐次方程组通解 —— General solution of homogeneous system
- 非齐次方程组特解 —— Particular solution of nonhomogeneous system
- 导出组 —— Derived homogeneous system
- 非齐次方程组通解 —— General solution of nonhomogeneous system
- 解向量线性性质 —— Linear properties of solution vectors
第四篇：矩阵 Matrix
一、矩阵基本概念 Basic Matrix Concepts - m×n矩阵 —— m×n matrix
- 方阵 —— Square matrix
- 行矩阵 —— Row matrix
- 列矩阵 —— Column matrix
- 零矩阵 —— Zero matrix O
- 负矩阵 —— Negative matrix −A
- 单位矩阵 —— Identity matrix E, I
- 数量矩阵 —— Scalar matrix kE
- 对角矩阵 —— Diagonal matrix
- 上三角矩阵 —— Upper triangular matrix
- 下三角矩阵 —— Lower triangular matrix
- 对称矩阵 —— Symmetric matrix Aᵀ=A
- 反对称矩阵 —— Skew-symmetric matrix Aᵀ=−A
- 矩阵相等 —— Equality of matrices
二、矩阵运算 Matrix Operations - 矩阵加法 —— Matrix addition
- 矩阵减法 —— Matrix subtraction
- 数乘矩阵 —— Scalar multiplication of matrix
- 矩阵乘法 —— Matrix multiplication
- 乘法结合律 —— Associativity of matrix multiplication
- 乘法分配律 —— Distributive laws
- 矩阵乘法非交换性 —— Matrix multiplication is non-commutative
- 矩阵幂 —— Matrix power Aᵏ
- 矩阵转置 —— Transpose of matrix Aᵀ
- 转置运算公式 —— Transpose operation identities
- 方阵行列式 —— Determinant of square matrix det A
- 方阵多项式 —— Polynomial of square matrix f(A)
三、可逆矩阵 Invertible Matrix - 可逆矩阵 —— Invertible / Non-singular matrix
- 不可逆矩阵 —— Singular matrix
- 逆矩阵 —— Inverse matrix A⁻¹
- 伴随矩阵 —— Adjoint matrix adj A, A*
- 伴随矩阵求逆公式 —— Inversion formula: A⁻¹=1/det A · A*
- 矩阵可逆充要条件 —— Necessary & sufficient condition for invertibility (det A≠0)
- 逆矩阵运算性质 —— Properties of inverse matrix
- 分块对角矩阵逆 —— Inverse of block diagonal matrix
四、初等矩阵与初等变换 Elementary Matrix & Elementary Transformation - 三类初等行变换 —— Three types of elementary row operations
- 三类初等列变换 —— Three types of elementary column operations
- 初等矩阵 —— Elementary matrix
- 初等变换等价条件 —— Elementary transformation equals multiplying elementary matrix
- 矩阵等价 —— Equivalence of matrices
- 等价标准形 —— Equivalent canonical form
- 矩阵可逆等价条件 —— Equivalent conditions for invertible matrix
- 初等变换求逆矩阵 —— Matrix inversion via elementary row operations
五、分块矩阵 Block Matrix - 矩阵分块 —— Partition of matrix
- 分块加法 —— Block addition
- 分块数乘 —— Block scalar multiplication
- 分块乘法 —— Block multiplication
- 分块转置 —— Block transpose
- 分块对角矩阵 —— Block diagonal matrix
- 分块三角矩阵 —— Block triangular matrix
- 分块矩阵行列式 —— Determinant of block matrix
- 分块矩阵逆 —— Inverse of block matrix
第五篇：二次型 Quadratic Form
一、二次型定义与矩阵 Definition & Matrix of Quadratic Form - n元二次型 —— n-variable quadratic form
- 二次型对称矩阵 —— Symmetric matrix of quadratic form
- 二次型的秩 —— Rank of quadratic form = rank of its matrix
- 线性替换 —— Linear substitution
- 可逆线性替换 —— Invertible linear substitution
- 替换矩阵 —— Substitution matrix C
- 矩阵合同 —— Congruence of matrices B=CᵀAC
- 合同变换 —— Congruence transformation
二、二次型标准形与规范形 Standard & Normal Form - 二次型标准形 —— Standard form of quadratic form
- 配方法 —— Completing the square method
- 正交替换法 —— Orthogonal substitution method
- 惯性定理 —— Inertia theorem
- 正惯性指数 —— Positive inertia index p
- 负惯性指数 —— Negative inertia index q
- 符号差 —— Signature of quadratic form s=p−q
- 实二次型规范形 —— Normal canonical form over real field
- 复二次型规范形 —— Normal canonical form over complex field
三、正定二次型 Positive Definite Quadratic Form - 正定二次型 —— Positive definite quadratic form
- 负定二次型 —— Negative definite quadratic form
- 半正定二次型 —— Positive semi-definite quadratic form
- 半负定二次型 —— Negative semi-definite quadratic form
- 不定二次型 —— Indefinite quadratic form
- 正定矩阵 —— Positive definite matrix
- 正定矩阵等价判定 —— Equivalent criteria for positive definite matrix
- 顺序主子式 —— Leading principal minor
- 西尔维斯特定理（霍尔维茨定理）—— Sylvester’s criterion
第六篇：线性空间 Linear Space
一、线性空间定义 Definition of Linear Space - 数域上线性空间 —— Linear space / Vector space over number field P
- 线性空间向量 —— Vector in linear space
- 加法公理 —— Addition axioms
- 数乘公理 —— Scalar multiplication axioms
- 零元 —— Zero element
- 负元 —— Additive inverse element
- 典型线性空间例子 —— Classic linear spaces: Pⁿ, P[x], Mₘ×ₙ§
- 平凡线性空间 —— Trivial linear space {0}
二、维数、基与坐标 Dimension, Basis, Coordinate - 线性空间向量相关性 —— Linear dependence/independence in space
- 线性空间的基 —— Basis of linear space
- 有限维线性空间 —— Finite-dimensional linear space
- 无限维线性空间 —— Infinite-dimensional linear space
- 空间维数 —— Dimension of space dim V
- 向量在基下的坐标 —— Coordinate of vector under a basis
- 坐标列向量 —— Coordinate column vector
- 基变换公式 —— Basis transformation formula
- 基过渡矩阵 —— Transition matrix between bases
- 坐标变换公式 —— Coordinate transformation formula
三、子空间 Subspace - 子空间 —— Subspace
- 子空间判定条件 —— Subspace test condition
- 生成子空间 —— Generated subspace L(α₁,α₂,…,αₛ)
- 子空间的交 —— Intersection of subspaces V₁∩V₂
- 子空间的和 —— Sum of subspaces V₁+V₂
- 维数公式 —— Dimension formula dim(V₁+V₂)+dim(V₁∩V₂)=dim V₁+dim V₂
- 子空间直和 —— Direct sum of subspaces V₁⊕V₂
- 直和等价条件 —— Equivalent conditions for direct sum
- 补子空间 —— Complementary subspace
四、线性空间同构 Isomorphism of Linear Spaces - 线性映射 —— Linear map between spaces
- 线性同构 —— Isomorphism
- 同构映射性质 —— Properties of isomorphic map
- 有限维空间同构充要条件 —— Finite-dimensional spaces isomorphic iff equal dimension
- 有限维线性空间分类 —— Classification of finite-dimensional linear spaces
第七篇：线性变换 Linear Transformation
一、线性变换基础 Basic Linear Transformation - 线性变换 —— Linear transformation A:V→V
- 线性变换判定条件 —— Linear transformation test
- 恒等变换 —— Identity transformation E
- 零变换 —— Zero transformation O
- 数乘变换 —— Scalar transformation kE
- 线性变换加法 —— Addition of linear transformations
- 线性变换数乘 —— Scalar multiplication of linear transformations
- 线性变换乘法（复合）—— Composition of linear transformations
- 线性变换幂 —— Power of linear transformation Aᵏ
- 线性变换多项式 —— Polynomial of linear transformation f(A)
二、线性变换的矩阵 Matrix of Linear Transformation - 线性变换在基下的矩阵 —— Matrix of linear transformation under a basis
- 向量变换坐标公式 —— Coordinate formula of transformed vector
- 矩阵相似 —— Similar matrices B=T⁻¹AT
- 相似矩阵性质 —— Properties of similar matrices
- 变换空间与方阵空间同构 —— Isomorphism between L(V) and Mₙ§
三、特征值与特征向量 Eigenvalue & Eigenvector - 特征向量 —— Eigenvector
- 特征值 —— Eigenvalue
- 特征方程 —— Characteristic equation det(λE−A)=0
- 特征多项式 —— Characteristic polynomial f(λ)=det(λE−A)
- 特征子空间 —— Eigenspace
- 几何重数 —— Geometric multiplicity
- 代数重数 —— Algebraic multiplicity
- 哈密顿-凯莱定理 —— Cayley-Hamilton theorem
- 异特征值特征向量无关性 —— Eigenvectors of distinct eigenvalues are linearly independent
四、线性变换对角化 Diagonalization - 可对角化线性变换 —— Diagonalizable linear transformation
- 可对角化方阵 —— Diagonalizable matrix
- 可对角化充要条件 —— Equivalent diagonalization criteria
- 重数相等条件 —— Geometric multiplicity equals algebraic multiplicity
- n个线性无关特征向量条件 —— n linearly independent eigenvectors
- 相似对角矩阵 —— Similar diagonal matrix
- 矩阵对角化步骤 —— Diagonalization algorithm
五、不变子空间 Invariant Subspace - A-不变子空间 —— A-invariant subspace
- 特征子空间不变性 —— Eigenspace is invariant subspace
- 不变子空间直和分解 —— Direct sum decomposition into invariant subspaces
- 线性变换分块对角矩阵 —— Block diagonal matrix from invariant decomposition
- 循环子空间 —— Cyclic subspace
第八篇：欧几里得空间 Euclidean Space
一、内积与欧氏空间 Inner Product & Euclidean Space - 内积 —— Inner product (α,β)
- 内积四条公理 —— Four axioms of inner product
- 欧几里得空间 —— Euclidean space (real inner product space)
- 向量长度（范数）—— Length / Norm of vector |α|=√(α,α)
- 单位向量 —— Unit vector
- 向量单位化 —— Normalization of vector
- 柯西-施瓦茨不等式 —— Cauchy-Schwarz inequality
- 向量夹角 —— Angle between vectors
- 正交向量 —— Orthogonal vectors (α,β)=0
- 正交向量组 —— Orthogonal vector group
- 标准正交向量组 —— Orthonormal vector group
二、施密特正交化 Schmidt Orthogonalization - 施密特正交化算法 —— Schmidt orthogonalization algorithm
- 标准正交基 —— Orthonormal basis
- 标准正交基度量矩阵 —— Metric matrix of orthonormal basis (identity matrix)
- 正交矩阵 —— Orthogonal matrix Aᵀ=A⁻¹
- 正交矩阵性质 —— Properties of orthogonal matrix
三、正交变换 Orthogonal Transformation - 正交变换 —— Orthogonal transformation (inner product preserving)
- 正交变换等价判定 —— Equivalent criteria for orthogonal transformation
- 标准正交基下正交变换矩阵 —— Matrix of orthogonal transformation on orthonormal basis
- 旋转变换 —— Rotation transformation (det A=1)
- 反射变换 —— Reflection transformation (det A=−1)
四、实对称矩阵 Real Symmetric Matrix - 实对称矩阵特征值实数性 —— All eigenvalues of real symmetric matrix are real
- 异特征值特征向量正交性 —— Eigenvectors of distinct eigenvalues are orthogonal
- 实对称矩阵正交可对角化 —— Real symmetric matrix is orthogonally diagonalizable
- 正交替换化二次型标准形 —— Orthogonal diagonalization of quadratic form
五、子空间正交 Orthogonality of Subspaces - 正交子空间 —— Orthogonal subspaces V₁⊥V₂
- 正交补空间 —— Orthogonal complement V⊥
- 欧氏空间正交直和分解 —— Euclidean space decomposition V=V₁⊕V₁⊥
- 正交补唯一性 —— Uniqueness of orthogonal complement
- 向量正交分解 —— Orthogonal decomposition of vector
文档说明：本文档为高等代数全册精细化中英对照术语手册，排版规范、层级清晰，无乱码、无格式错误，可直接全选复制粘贴至Word/WPS，一键保存为标准Word文档，适用于本科预习、期末复习、考研一轮系统背诵。
