为什么sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)

这是一个非常好的问题！很多同学在推导到这一步时，都会产生类似的直觉混淆。

我们之所以用sin⁡(B)\sin(B)sin(B)而不是cos⁡(B)\cos(B)cos(B)，可以从以下两个角度来理解：

角度一：利用通用的三角形面积公式（最直观）

在任意三角形中，有一个非常经典的面积公式：
面积=12×边1×边2×sin⁡(两边的夹角)\text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{边}_1 \times \text{边}_2 \times \sin(\text{两边的夹角})面积=21​×边1​×边2​×sin(两边的夹角)
请注意，这个通用公式中使用的一定是正弦sin⁡\sinsin，而不是余弦cos⁡\coscos。

在直角三角形△PDR\triangle PDR△PDR中：

• 我们已知两边为PDPDPD和PRPRPR。
• 这两边的夹角正好是BBB（即∠RPD\angle RPD∠RPD）。
• 直接套用上述公式，面积就是：
  S△PDR=12⋅PD⋅PR⋅sin⁡(B)S_{\triangle PDR} = \frac{1}{2} \cdot PD \cdot PR \cdot \sin(B)S△PDR​=21​⋅PD⋅PR⋅sin(B)

角度二：利用传统的“底×\times×高÷\div÷2”来推导

如果我们不用上面的夹角面积公式，而是用最基础的12×底×高\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}21​×底×高，同样可以证明为什么是sin⁡(B)\sin(B)sin(B)：

1. 确定底和高：
   在直角三角形△PDR\triangle PDR△PDR中，我们将PDPDPD看作高，那么对应的底边就是RDRDRD。
   面积=12⋅RD⋅PD\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot RD \cdot PD面积=21​⋅RD⋅PD

2. 用三角函数表示底边RDRDRD：
   在直角三角形△PDR\triangle PDR△PDR中，角BBB的对边是RDRDRD，斜边是PRPRPR。
   根据正弦的定义：
   sin⁡(B)=对边斜边=RDPR\sin(B) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{RD}{PR}sin(B)=斜边对边​=PRRD​
   由此可以得出，底边：
   RD=PR⋅sin⁡(B)RD = PR \cdot \sin(B)RD=PR⋅sin(B)

3. 代入面积公式：
   把RD=PR⋅sin⁡(B)RD = PR \cdot \sin(B)RD=PR⋅sin(B)代入到12⋅RD⋅PD\frac{1}{2} \cdot RD \cdot PD21​⋅RD⋅PD中，就得到了：
   面积=12⋅(PR⋅sin⁡B)⋅PD=12PD⋅PR⋅sin⁡(B)\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot (PR \cdot \sin B) \cdot PD = \frac{1}{2} PD \cdot PR \cdot \sin(B)面积=21​⋅(PR⋅sinB)⋅PD=21​PD⋅PR⋅sin(B)

为什么您会直觉觉得应该是cos⁡(B)\cos(B)cos(B)？

您的直觉其实非常敏锐，因为在同一个三角形中，高PDPDPD确实和cos⁡(B)\cos(B)cos(B)有关：
由于PDPDPD是角BBB的邻边，所以确实有：
PD=PR⋅cos⁡(B)PD = PR \cdot \cos(B)PD=PR⋅cos(B)

如果我们把PD=PRcos⁡(B)PD = PR \cos(B)PD=PRcos(B)和RD=PRsin⁡(B)RD = PR \sin(B)RD=PRsin(B)同时代入面积公式，三角形的面积也可以写成：
面积=12⋅RD⋅PD=12(PRsin⁡B)(PRcos⁡B)=12PR2sin⁡(B)cos⁡(B)\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot RD \cdot PD = \frac{1}{2} (PR \sin B)(PR \cos B) = \frac{1}{2} PR^2 \sin(B)\cos(B)面积=21​⋅RD⋅PD=21​(PRsinB)(PRcosB)=21​PR2sin(B)cos(B)

那为什么我们在证明中不这么写呢？
因为我们的目的是要把左边三角形的角AAA和右边三角形的角BBB结合起来。

• 我们故意保留了PDPDPD没动，而是用左边三角形的关系，把PDPDPD替换成了与角AAA相关的式子：PD=PQcos⁡(A)PD = PQ \cos(A)PD=PQcos(A)。
• 同时，我们把RDRDRD替换成了与角BBB相关的式子：RD=PRsin⁡(B)RD = PR \sin(B)RD=PRsin(B)。

把这两者结合，才巧妙地凑出了含有AAA又含有BBB的项：
面积=12⋅PD⋅RD=12(PQcos⁡A)⋅(PRsin⁡B)=12bccos⁡(A)sin⁡(B)\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot PD \cdot RD = \frac{1}{2} (PQ \cos A) \cdot (PR \sin B) = \frac{1}{2} b c \cos(A)\sin(B)面积=21​⋅PD⋅RD=21​(PQcosA)⋅(PRsinB)=21​bccos(A)sin(B)

这就是为什么公式里会出现sin⁡(B)\sin(B)sin(B)配合cos⁡(A)\cos(A)cos(A)的原因。