文章目录
- 摘要
- 一、引言
- 二、测试数据集与参数配置
- 2.1 测试数据集构造
- 2.2 模型参数配置
- 三、动态 DEA-CCR 模型核心原理
- 3.1 投入导向模型
- 3.2 产出导向模型
- 3.3 核心性质
- 四、投入导向模型手算推导
- 4.1 DMU1 效率求解
- 4.2 DMU2 效率求解
- 4.3 DMU3 效率求解
- 五、产出导向模型手算推导
- 5.1 DMU1 效率求解
- 5.2 DMU2 效率求解
- 5.3 DMU3 效率求解
- 5.4 倒数关系校验
- 六、DEA Performance 软件计算结果
- 6.1 投入导向计算结果
- 6.2 产出导向计算结果
- 七、一致性校验与结果分析
- 7.1 数值一致性校验
- 7.2 结果经济含义分析
- 八、总结
摘要
本文针对面板数据下的动态 DEA-CCR 模型，构造了包含 3 个决策单元、2 期观测的标准化测试数据集，通过数学推导完成投入导向与产出导向两种模式下的手算求解；同时基于 DEA Performance 软件实现相同参数下的自动化计算，并对两组结果进行全维度一致性校验。本文同时拆解了动态 DEA 中资本存量跨期折旧结转的核心约束逻辑，可为动态 DEA 模型的学习、开发与结果验证提供参考依据。
关键词：数据包络分析；动态 DEA；CCR 模型；手算验证；一致性校验
一、引言
在效率评价领域，传统静态 DEA 模型仅能处理单期截面数据，无法刻画资本存量、技术积累等跨期结转要素的持续影响。动态 DEA（Dynamic DEA）通过引入跨期关联变量（如资本存量），将多期面板数据纳入统一的效率评价框架，能够更真实地反映生产单元的长期运行效率。
对于科研人员而言，选择一款可靠的数据包络分析软件是开展效率评价研究的基础，尤其是论文用 DEA 软件推荐中，计算结果的准确性是核心考量因素。由于动态 DEA 引入了跨期约束，模型构造比静态 DEA 更为复杂，计算结果的正确性验证也成为开发者与使用者关注的核心问题。
本文通过构造可控的测试数据集，以手算推导的方式求解动态 DEA-CCR 模型的理论最优解，并与 DEA Performance 软件的计算结果进行对比校验，验证模型实现的准确性，同时帮助读者理解动态 DEA 的内在逻辑。
二、测试数据集与参数配置
2.1 测试数据集构造
为清晰验证模型逻辑，本文构造包含 3 个决策单元（DMU）、2 期时间序列的测试数据集，包含 2 项投入指标、2 项产出指标，其中投入 1 为资本存量指标，作为跨期结转变量。数据排列遵循「按 DMU 分组，每期一行」的规则，即先排列 DMU1 的两期数据，再依次排列 DMU2、DMU3。具体测试数据如下表所示：
| DMU 名称 | 期数 | 投入 1（资本存量） | 投入 2（可变投入） | 产出 1 | 产出 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| DMU1 | 第 1 期 | 10 | 5 | 10 | 8 |
| DMU1 | 第 2 期 | 9 | 5 | 12 | 9 |
| DMU2 | 第 1 期 | 12 | 6 | 11 | 9 |
| DMU2 | 第 2 期 | 11 | 6 | 13 | 10 |
| DMU3 | 第 1 期 | 20 | 10 | 10 | 8 |
| DMU3 | 第 2 期 | 18 | 10 | 12 | 9 |
数据设计说明：
- DMU1：为构造的生产前沿单元，资本存量严格满足 10% 折旧率下的结转关系（10 × 0.9 = 9 10 \times 0.9 = 910×0.9=9）；
- DMU2：为轻度低效单元，投入产出规模略高于 DMU1 但产出提升幅度不足；
- DMU3：为显著低效单元，产出与 DMU1 持平但投入规模翻倍，用于验证效率值的比例关系。
2.2 模型参数配置
本次验证采用统一的参数配置，分别在投入导向与产出导向两种模式下求解：
- 时间期数：2 期
- 资本存量所在列：第 1 列投入
- 资本折旧率：10%（0.1）
- 基础模型：CCR（不变规模报酬 CRS）
- 计算导向：分别验证投入导向、产出导向
图 1 DEA Performance 动态 DEA 模型参数配置界面
三、动态 DEA-CCR 模型核心原理
动态 DEA-CCR 模型的核心特征是引入资本存量的跨期折旧结转约束，同时单个 DMU 的所有时期共享同一个效率变量，实现跨期整体效率的统一评价。
3.1 投入导向模型
目标为最小化效率值θ \thetaθ（θ ≤ 1 \theta \le 1θ≤1，值越接近 1 表示效率越高），核心约束包括：
- 可变投入约束（非资本列）：
∑ j = 1 n λ j , t x j , t , i + s t , i − = θ ⋅ x d , t , i , ∀ t , ∀ i ≠ k \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j,t} x_{j,t,i} + s_{t,i}^- = \theta \cdot x_{d,t,i}, \quad \forall t, \forall i \neq kj=1∑nλj,txj,t,i+st,i−=θ⋅xd,t,i,∀t,∀i=k - 产出约束：
∑ j = 1 n λ j , t y j , t , r − s t , r + = y d , t , r , ∀ t , ∀ r \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j,t} y_{j,t,r} - s_{t,r}^+ = y_{d,t,r}, \quad \forall t, \forall rj=1∑nλj,tyj,t,r−st,r+=yd,t,r,∀t,∀r - 资本存量跨期结转约束：
- 第 1 期资本约束：
∑ j = 1 n λ j , 0 x j , 0 , k + s 0 , k − = θ ⋅ x d , 0 , k \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j,0} x_{j,0,k} + s_{0,k}^- = \theta \cdot x_{d,0,k}j=1∑nλj,0xj,0,k+s0,k−=θ⋅xd,0,k - 第t > 1 t>1t>1期资本结转约束：
∑ j = 1 n λ j , t − 1 x j , t − 1 , k ⋅ ( 1 − δ ) + s t , k − = ∑ j = 1 n λ j , t x j , t , k \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j,t-1} x_{j,t-1,k} \cdot (1-\delta) + s_{t,k}^- = \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j,t} x_{j,t,k}j=1∑nλj,t−1xj,t−1,k⋅(1−δ)+st,k−=j=1∑nλj,txj,t,k
- 第 1 期资本约束：
其中，λ j , t \lambda_{j,t}λj,t为第t tt期第j jj个 DMU 的权重，δ \deltaδ为资本折旧率，k kk为资本列索引，s − s^-s−、s + s^+s+分别为投入、产出松弛变量。
3.2 产出导向模型
目标为最大化效率值ϕ \phiϕ（ϕ ≥ 1 \phi \ge 1ϕ≥1，值越接近 1 表示效率越高），可变投入与产出约束形式对应调整，资本跨期结转约束的结构与投入导向保持一致。
3.3 核心性质
在不变规模报酬（CRS）且无冗余松弛的前提下，投入导向效率θ \thetaθ与产出导向效率ϕ \phiϕ满足倒数关系：
θ × ϕ = 1 \theta \times \phi = 1θ×ϕ=1
该性质可作为结果合理性的快速校验依据。
四、投入导向模型手算推导
4.1 DMU1 效率求解
取参考组合为 DMU1 自身，即两期权重λ 1 , 1 = 1 \lambda_{1,1}=1λ1,1=1，λ 1 , 2 = 1 \lambda_{1,2}=1λ1,2=1，其余 DMU 权重为 0。
- 可变投入约束：左右两侧均等于自身投入值，松弛为 0，等式成立；
- 产出约束：左右两侧均等于自身产出值，松弛为 0，等式成立；
- 第 1 期资本约束：左侧10 × 1 = 10 10 \times 1 = 1010×1=10，右侧θ × 10 \theta \times 10θ×10，当θ = 1 \theta=1θ=1时等式成立；
- 第 2 期资本结转约束：左侧10 × 1 × 0.9 = 9 10 \times 1 \times 0.9 = 910×1×0.9=9，右侧9 × 1 = 9 9 \times 1 = 99×1=9，等式严格成立，资本松弛为 0。
因此θ = 1 \theta=1θ=1是可行解，且为投入导向的理论下界，故 DMU1 最优效率为1.0000。
4.2 DMU2 效率求解
最优参考组合为 DMU1，设两期权重均为λ \lambdaλ。
由产出约束的短板项（第 1 期产出 2）可得：8 × λ = 9 8 \times \lambda = 98×λ=9，解得λ = 1.125 \lambda = 1.125λ=1.125。
代入可变投入约束验证：
左侧：5 × 1.125 = 5.625 5 \times 1.125 = 5.6255×1.125=5.625
右侧：θ × 6 \theta \times 6θ×6
解得θ = 5.625 / 6 = 0.9375 \theta = 5.625 / 6 = 0.9375θ=5.625/6=0.9375。
资本约束验证：
- 第 1 期：左侧10 × 1.125 = 11.25 10 \times 1.125 = 11.2510×1.125=11.25，右侧0.9375 × 12 = 11.25 0.9375 \times 12 = 11.250.9375×12=11.25，等式成立；
- 第 2 期结转：左侧10 × 1.125 × 0.9 = 10.125 10 \times 1.125 \times 0.9 = 10.12510×1.125×0.9=10.125，右侧9 × 1.125 = 10.125 9 \times 1.125 = 10.1259×1.125=10.125，等式成立。
所有约束均满足，故 DMU2 最优效率为0.9375。
4.3 DMU3 效率求解
DMU3 产出水平与 DMU1 完全一致，取参考组合为 DMU1，两期权重λ = 1 \lambda=1λ=1即可覆盖全部产出。
代入可变投入约束：
左侧：5 × 1 = 5 5 \times 1 = 55×1=5
右侧：θ × 10 \theta \times 10θ×10
解得θ = 5 / 10 = 0.5 \theta = 5 / 10 = 0.5θ=5/10=0.5。
资本约束验证：
- 第 1 期：左侧10 × 1 = 10 10 \times 1 = 1010×1=10，右侧0.5 × 20 = 10 0.5 \times 20 = 100.5×20=10，等式成立；
- 第 2 期结转：左侧10 × 1 × 0.9 = 9 10 \times 1 \times 0.9 = 910×1×0.9=9，右侧9 × 1 = 9 9 \times 1 = 99×1=9，与0.5 × 18 = 9 0.5 \times 18 = 90.5×18=9匹配，等式成立。
故 DMU3 最优效率为0.5000。
五、产出导向模型手算推导
5.1 DMU1 效率求解
同理，取自身为参考组合，ϕ = 1 \phi=1ϕ=1时所有约束严格成立，故效率为1.0000。
5.2 DMU2 效率求解
最优参考组合为 DMU1，由投入约束短板（投入 2）可得：5 × λ = 6 5 \times \lambda = 65×λ=6，解得λ = 1.2 \lambda = 1.2λ=1.2。
代入产出约束（第 1 期产出 2）：
左侧：8 × 1.2 = 9.6 8 \times 1.2 = 9.68×1.2=9.6
右侧：ϕ × 9 \phi \times 9ϕ×9
解得ϕ = 9.6 / 9 ≈ 1.0667 \phi = 9.6 / 9 \approx 1.0667ϕ=9.6/9≈1.0667。
资本结转约束验证成立，故 DMU2 最优效率为1.0667。
5.3 DMU3 效率求解
DMU3 投入规模为 DMU1 的 2 倍，取参考权重λ = 2 \lambda=2λ=2，刚好耗尽全部投入。
代入产出约束：
10 × 2 = ϕ × 10 10 \times 2 = \phi \times 1010×2=ϕ×10，解得ϕ = 2 \phi=2ϕ=2。
资本结转约束验证：第 1 期10 × 2 = 20 10 \times 2 = 2010×2=20，第 2 期结转10 × 2 × 0.9 = 18 10 \times 2 \times 0.9 = 1810×2×0.9=18，与 DMU3 资本完全匹配，等式成立。故 DMU3 最优效率为2.0000。
5.4 倒数关系校验
- DMU1：1.0 × 1.0 = 1 1.0 \times 1.0 = 11.0×1.0=1，符合；
- DMU2：0.9375 × 1.0667 ≈ 1 0.9375 \times 1.0667 \approx 10.9375×1.0667≈1，符合；
- DMU3：0.5 × 2.0 = 1 0.5 \times 2.0 = 10.5×2.0=1，符合。
手算结果满足 CRS 模型的倒数性质，推导逻辑自洽。
六、DEA Performance 软件计算结果
使用 DEA Performance 软件导入相同测试数据，配置对应参数后，分别得到投入导向与产出导向的计算结果。
6.1 投入导向计算结果
图 2 动态 DEA-CCR 投入导向计算结果界面
软件输出的效率结果整理如下：
| DMU | 第 1 期效率 | 第 2 期效率 | 跨期平均效率 |
|---|---|---|---|
| DMU1 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 |
| DMU2 | 0.9375 | 0.9375 | 0.9375 |
| DMU3 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 |
6.2 产出导向计算结果
图 3 动态 DEA-CCR 产出导向计算结果界面
软件输出的效率结果整理如下：
| DMU | 第 1 期效率 | 第 2 期效率 | 跨期平均效率 |
|---|---|---|---|
| DMU1 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 |
| DMU2 | 1.0667 | 1.0667 | 1.0667 |
| DMU3 | 2.0000 | 2.0000 | 2.0000 |
七、一致性校验与结果分析
7.1 数值一致性校验
将手算推导结果与 DEA Performance 软件计算结果进行逐项对比，所有 DMU 在两种导向下的效率值完全一致，误差为 0，验证了软件中动态 DEA-CCR 模型实现的正确性。
同时，同一 DMU 两期效率值完全相同，符合模型「跨期共享单一效率变量」的核心设定 —— 动态 DEA 评价的是 DMU 的整体跨期效率，而非单期独立效率，这也是动态模型与逐期静态 DEA 的核心区别。
7.2 结果经济含义分析
- DMU1：处于生产前沿面，两期均实现技术有效，资本存量增长与折旧率完全匹配，投入产出配置达到最优。
- DMU2：存在轻度效率损失，投入导向下效率为 0.9375，意味着在保持当前产出不变的前提下，所有投入可统一缩减 6.25%；产出导向下效率为 1.0667，意味着在现有投入水平下，产出存在约 6.67% 的提升空间。
- DMU3：效率水平显著偏低，投入存在严重冗余，仅需 50% 的投入规模即可实现当前产出，存在较大的优化空间。
八、总结
本文通过构造标准化测试数据集，完成了动态 DEA-CCR 模型的手算推导，并与 DEA Performance 软件的计算结果进行了全维度一致性校验，两组结果完全吻合，验证了软件模型实现的准确性与可靠性。
动态 DEA 的核心难点在于跨期资本结转约束的构造，本文通过分步拆解的方式清晰呈现了约束的逻辑与验证方法，可为动态 DEA 的学习、开发与结果校验提供参考。作为一款功能完善的免费的数据包络分析软件，DEA Performance 支持静态与动态多类 DEA 模型求解，可满足科研与实务中的各类效率评价需求。
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