CCR 中立型交叉效率 DEA 计算准确性验证：基于 DEA Performance 的标准算例实测与对偶性校验

摘要

传统交叉效率 DEA 存在权重不唯一、结果波动大的问题，中立型交叉效率通过最小化权重极差的二级目标规划，有效避免了单一指标权重极端化缺陷，评价立场中立客观，在绩效评价、行业排名中应用广泛。本文以 6 个决策单元、2 投入 2 产出的标准算例为基础，针对 CCR 不变规模报酬下的投入与产出导向两种模式，从自评效率基准、交叉效率数学性质、模式相对逻辑、对偶一致性四个维度，对 DEA Performance 软件的中立型交叉效率计算结果进行全维度准确性验证。结果表明，软件计算结果与理论推导完全吻合，二级目标实现符合学术规范，可为科研与实务工作提供可靠的计算支撑，同时本文提出的多层级校验框架也为 DEA 结果异常排查提供了可复用的通用方法。

一、引言

数据包络分析（DEA）作为多投入多产出效率评价的经典方法，在公共管理、企业绩效、科研评价等领域应用广泛。但传统 CCR/BCC 模型基于自评体系，决策单元会选取对自身最有利的权重组合，容易出现权重结构极端、有效单元并列过多、排名区分度不足等问题，难以满足公允评价的需求。

交叉效率 DEA 通过引入 DMU 互评机制，让每个决策单元以自身最优权重评价所有单元，最终取互评均值作为最终效率，从机制上解决了自评偏袒的缺陷。根据二级目标规划的不同，交叉效率可分为基础型、激进型、仁慈型、中立型、理想点型等多种模式，其中中立型交叉效率以 “最小化权重极差” 为二级目标，在保证自身效率最优的前提下，推动权重分布均衡化，既不刻意抬高也不压低其他单元的评价结果，立场中立客观，尤其适合需要公允排名、避免极端权重影响的评价场景。

在实际科研应用中，计算结果的准确性是分析结论可靠的核心前提。很多研究人员在筛选论文用 DEA 软件推荐时，最关注的就是模型实现是否符合学术规范、二级目标逻辑是否正确。目前不少免费的数据包络分析软件仅实现了基础交叉效率算法，中立型等进阶模式的二级目标规划常存在实现偏差，甚至直接用权重归一化替代极差优化，导致结果失真。

本文基于经典 CCR 不变规模报酬假设，设计包含前沿有效单元、等比例缩放单元的标准算例，从理论推导、性质校验、逻辑对比、对偶验证四个层面，系统验证 DEA Performance 软件中中立型交叉效率模型的计算准确性，同时给出一套可复用的 DEA 结果异常排查方法，为同行提供参考。

二、中立型交叉效率 DEA 的理论框架

2.1 基础交叉效率的计算逻辑

基础交叉效率的计算分为两个核心步骤：

1. 第一阶段（自评）：对每个 DMU_k，求解传统 DEA 乘子模型，得到使其自身效率最优的投入权重 v 与产出权重 u；
2. 第二阶段（互评）：用 DMU_k 的最优权重，计算所有 DMU_j 的效率值，填入交叉效率矩阵的第 k 行；
3. 最终每个 DMU 的交叉效率为交叉效率矩阵对应列的算术平均值。

该方法由 Sexton 等人于 1986 年提出，但存在最优权重不唯一的缺陷 —— 同一自评效率下可能存在多组可行权重，不同权重会得到差异较大的互评结果，因此需要引入二级目标规划确定唯一权重。

2.2 中立型二级目标规划原理

中立型交叉效率的核心思想是：在保证 DMU 自身效率达到最优值的约束下，选择一组权重使得权重的极差最小，避免单一指标权重过高或过低，让各指标在评价中发挥均衡作用，体现中立公允的评价立场。

以投入导向 CCR 模型为例，其两阶段规划模型如下：

• 第一阶段：求解D M U k DMU_kDMUk​的最大自评效率θ k ∗ \theta_k^*θk∗​

max ⁡ ∑ r = 1 s u r y r k s.t. ∑ i = 1 m v i x i k = 1 ∑ r = 1 s u r y r j − ∑ i = 1 m v i x i j ≤ 0 , j = 1 , 2 , . . . , n u r ≥ ϵ > 0 , v i ≥ ϵ > 0 \begin{align*} \max & \quad \sum_{r=1}^s u_r y_{rk} \\ \text{s.t.} & \quad \sum_{i=1}^m v_i x_{ik} = 1 \\ & \quad \sum_{r=1}^s u_r y_{rj} - \sum_{i=1}^m v_i x_{ij} \leq 0, \quad j=1,2,...,n \\ & \quad u_r \geq \epsilon > 0, \quad v_i \geq \epsilon > 0 \end{align*}maxs.t.​r=1∑s​ur​yrk​i=1∑m​vi​xik​=1r=1∑s​ur​yrj​−i=1∑m​vi​xij​≤0,j=1,2,...,nur​≥ϵ>0,vi​≥ϵ>0​

• 第二阶段（中立型）：固定自身效率为θ k ∗ \theta_k^*θk∗​，最小化权重极差

min ⁡ ( v max − v min ) + ( u max − u min ) s.t. ∑ i = 1 m v i x i k = 1 ∑ r = 1 s u r y r k = θ k ∗ ∑ r = 1 s u r y r j − ∑ i = 1 m v i x i j ≤ 0 , j = 1 , 2 , . . . , n v i ≤ v max , v i ≥ v min , i = 1 , 2 , . . . , m u r ≤ u max , u r ≥ u min , r = 1 , 2 , . . . , s u r ≥ ϵ > 0 , v i ≥ ϵ > 0 \begin{align*} \min & \quad (v_{\text{max}} - v_{\text{min}}) + (u_{\text{max}} - u_{\text{min}}) \\ \text{s.t.} & \quad \sum_{i=1}^m v_i x_{ik} = 1 \\ & \quad \sum_{r=1}^s u_r y_{rk} = \theta_k^* \\ & \quad \sum_{r=1}^s u_r y_{rj} - \sum_{i=1}^m v_i x_{ij} \leq 0, \quad j=1,2,...,n \\ & \quad v_i \leq v_{\text{max}}, \quad v_i \geq v_{\text{min}}, \quad i=1,2,...,m \\ & \quad u_r \leq u_{\text{max}}, \quad u_r \geq u_{\text{min}}, \quad r=1,2,...,s \\ & \quad u_r \geq \epsilon > 0, \quad v_i \geq \epsilon > 0 \end{align*}mins.t.​(vmax​−vmin​)+(umax​−umin​)i=1∑m​vi​xik​=1r=1∑s​ur​yrk​=θk∗​r=1∑s​ur​yrj​−i=1∑m​vi​xij​≤0,j=1,2,...,nvi​≤vmax​,vi​≥vmin​,i=1,2,...,mur​≤umax​,ur​≥umin​,r=1,2,...,sur​≥ϵ>0,vi​≥ϵ>0​

该实现通过线性规划即可求解，最优解唯一，结果稳定，是目前学术领域主流的中立型交叉效率实现方案。

三、算例设计与基础数据

为清晰验证计算结果的准确性，本文设计了一组包含 6 个决策单元的标准算例，包含 2 项投入指标与 2 项产出指标。算例特意设置了前沿有效单元与等比例缩放单元，便于通过数学性质交叉验证结果的正确性。

具体基础数据如下表所示：

表格

算例设计说明：

1. DMU2 为 CCR 有效单元，构成生产前沿面，用于验证有效单元边界性质；
2. DMU5 与 DMU1 产出完全相同，投入规模为 DMU1 的 2 倍；DMU6 与 DMU2 产出完全相同，投入规模为 DMU2 的 2 倍，可用于验证交叉效率的比例不变性；
3. 所有单元均为正数据，无异常值，符合 DEA 模型的基本数据要求。

四、计算结果多维度准确性验证

本文使用 DEA Performance 软件，配置 CCR 不变规模报酬、中立型交叉评价模式，分别计算投入导向与产出导向两种场景的结果，并从五个维度进行准确性校验。

4.1 第一阶段自评效率验证

自评效率是交叉效率计算的基础，其准确性直接决定了后续互评结果的可靠性。第一阶段为标准 CCR 模型求解，与交叉评价模式无关，我们先对自评结果进行理论校验。

4.1.1 投入导向自评效率校验

投入导向下，各 DMU 的自评最优效率 θ* 如下表所示：

表格

验证结论：DMU2 效率值为 1，处于生产前沿面，符合有效单元判定；其余单元效率值均小于 1，且与基于前沿面推导的理论值完全一致，第一阶段自评计算准确无误。

4.1.2 产出导向自评效率校验

根据 DEA 对偶理论，同一 DMU 在投入导向与产出导向下的效率值满足严格的倒数关系：φ* = 1/θ*。

表格

验证结论：产出导向自评效率完全符合倒数关系定理，基础乘子模型的计算逻辑无偏差。

4.2 交叉效率核心数学性质验证

交叉效率存在若干与二级目标无关的刚性数学性质，这些性质是校验结果正确性的核心依据，也是 DEA 结果异常排查方法中的核心校验点。

4.2.1 等比例缩放不变性验证

若两个 DMU 的产出完全相同，其中一个的投入是另一个的 k 倍，则在任意权重下，二者的效率值之比恒为 1/k。该性质与权重选择无关，是交叉效率的固有属性。

本算例中：

• DMU5 投入是 DMU1 的 2 倍，产出完全相同，因此交叉效率应满足：E5 = E1 / 2
• DMU6 投入是 DMU2 的 2 倍，产出完全相同，因此交叉效率应满足：E6 = E2 / 2

投入导向验证：

• E1 = 0.859259，E1/2 = 0.429630，与 E5=0.429630 完全一致
• E2 = 1.000000，E2/2 = 0.500000，与 E6=0.500000 完全一致

产出导向验证：

• E1 = 0.859259，E1/2 = 0.429630，与 E5=0.429630 完全一致
• E2 = 1.000000，E2/2 = 0.500000，与 E6=0.500000 完全一致

两组结果均严格满足比例不变性，无计算偏差。

4.2.2 有效单元边界性质验证

对于 CCR 有效单元（DMU2），根据 DEA 模型的约束条件，任意可行权重下对其的评价效率都不会超过 1。而 DMU2 自身自评效率为 1，因此所有评价主体对 DMU2 的评价值最高只能达到 1，最终交叉效率均值必然≤1。

软件计算结果中，投入导向与产出导向下 DMU2 的最终交叉效率均为 1.000000，说明所有 DMU 的最优权重均使 DMU2 达到效率上限，完全符合理论边界约束。

4.2.3 效率值上下界性质验证

交叉效率是多组权重下的互评均值，必然小于等于该 DMU 的自评最优效率（自评是自身权重下的理论最大值）。

以投入导向为例验证：

• DMU1：0.8593 < 0.8889 ✅
• DMU3：0.8025 < 0.8333 ✅
• DMU4：0.9179 < 0.9259 ✅
• DMU5：0.4296 < 0.4444 ✅

所有单元均满足该约束，无逻辑矛盾。

4.3 模式相对逻辑验证（与仁慈型对比）

不同交叉评价模式的评价严格程度存在固定的理论排序：仁慈型（最宽松）> 中立型 > 激进型（最严格），对应最终效率值依次降低。我们将本次中立型结果与此前验证正确的仁慈型结果进行对比，验证模式逻辑的合理性。

表格

结果完全符合模式的严格程度排序，二级目标的作用方向正确，中立型的 “权重均衡” 目标确实对非前沿单元的效率产生了向下调整的作用，逻辑自洽。

4.4 投入与产出导向对偶一致性验证

从计算结果可以看到，投入导向与产出导向的最终交叉效率数值完全相同，这并非计算错误，而是 CCR 模型对偶性的必然结果。

原理说明：

1. CCR 投入导向与产出导向的乘子模型最优权重成固定比例：若投入导向最优权重为 (v, u)，则产出导向最优权重为 (v/θ*, u/θ*)，其中 θ* 为自评效率。
2. 交叉效率的计算公式为效率 = u·Y / v·X，分子分母同比例缩放后比值完全不变。
3. 二级目标 “最小化权重极差” 在比例缩放后，最优解的相对比例保持不变，因此最终交叉效率矩阵完全相同，列均值也完全一致。

因此投入、产出导向最终效率数值相同是理论上的必然结果，软件计算准确体现了 CCR 模型的对偶性质。

4.5 二级目标实现合理性验证

DEA Performance 软件中中立型交叉效率采用**“最小化权重极差”**的实现方案，在保证自身效率最优的前提下，最小化投入权重极差与产出权重极差之和，属于学术领域主流的 “权重均衡型” 中立模式。

该实现的优势：

• 有效避免传统交叉效率权重极端化（单个指标权重趋近于非阿基米德无穷小）的问题；
• 评价立场中立，既不刻意抬高也不压低其他单元效率，结果更易被各方接受；
• 线性规划求解稳定，最优解唯一，结果可复现，不存在权重不唯一导致的结果波动。

实现逻辑完全符合中立型交叉效率的学术定义，无实现偏差。

五、DEA Performance 软件操作与结果展示

5.1 模型参数配置

在 DEA Performance 软件中进入交叉效率 DEA 模型配置界面，按如下参数进行设置：

1. 规模报酬类型：选择「CCR 不变规模报酬」
2. 计算导向：分别选择「投入导向」与「产出导向」进行两次计算
3. 交叉评价模式：选择「中立型交叉效率（权重均衡）」
4. 高级选项：关闭超效率模式，采用默认算术平均聚合

参数配置界面如下图所示：

5.2 投入导向计算结果

完成配置后点击计算，软件将自动求解所有 DMU 的最优权重与交叉效率矩阵，并输出最终排名结果。

5.2.1 结果数据表格

软件输出的详细结果表格包含自评效率、最终交叉效率、综合排名等完整信息，数据与我们的理论验算完全一致。

5.2.2 效率柱状图

软件支持一键生成可视化效率对比柱状图，可直观展示各 DMU 的效率差异与排名情况，图形可直接用于论文撰写与报告展示。

5.3 产出导向计算结果

切换计算导向为产出导向后重新计算，得到产出导向下的中立型交叉效率结果。

5.3.1 结果数据表格

产出导向下的结果同样包含完整的互评矩阵与排名信息，数值精度符合学术标准，且与投入导向结果满足对偶一致性。

5.3.2 效率柱状图

产出导向的效率柱状图可直观对比各单元的产出提升潜力，适配效益考核、产能评价类场景的展示需求。

六、结论与总结

本文通过标准算例，从自评效率基准、交叉效率数学性质、模式相对逻辑、对偶一致性、二级目标实现五个维度，对 DEA Performance 软件的 CCR 中立型交叉效率模型进行了全面的准确性验证，得出以下结论：

1. 计算结果准确可靠：投入导向与产出导向两组计算结果，均完全符合 DEA 基础理论与交叉效率的数学性质，数值精度达到 6 位小数，与理论推导值无偏差；
2. 模型实现规范标准：中立型二级目标采用 “最小化权重极差” 的经典线性化实现方案，符合学术领域的通用定义，结果唯一稳定，无权重不唯一导致的结果波动问题；
3. 对偶性质体现完整：软件准确还原了 CCR 模型投入 - 产出导向的对偶特性，最终交叉效率结果满足一致性，底层模型逻辑严谨。

对于从事 DEA 相关研究的科研人员，尤其是需要撰写效率评价类论文的用户，这款工具可作为论文用 DEA 软件推荐的可靠选择。相比很多免费的数据包络分析软件，其不仅实现了完整的多模式交叉效率算法，还保证了计算结果的学术严谨性。

此外，本文提出的 “自评校验 - 性质校验 - 逻辑校验 - 对偶校验” 四层验算框架，也是一套通用的 DEA 结果异常排查方法，可广泛应用于各类 DEA 模型的结果验证。后续我们还将陆续验证超效率交叉效率、非期望产出 DEA 怎么处理、DEA 投影分析怎么做等进阶功能的准确性，为大家提供更全面的参考。

DEA Performance 链接：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802