140、时间最优轨迹：TOPP与凸优化的时间最优规划
去年做一条六轴协作臂的码垛任务，客户要求节拍从12秒压到8秒以内。我一开始用的是梯形速度规划，简单粗暴，但末端在拐点处加速度突变，整个臂架跟抽风似的，电机电流直接爆表。后来换成S型曲线，好了一些，但遇到复杂路径——比如绕过障碍物的多段直线加圆弧——S型曲线根本没法保证时间最优，因为路径本身是耦合的，你没法对每一段单独做时间缩放。
那段时间我天天盯着示波器上的速度曲线，脑子里反复琢磨一个问题：给定一条几何路径（比如笛卡尔空间里的样条曲线），在满足关节速度、加速度、甚至力矩约束的前提下，怎么让机械臂跑完这条路的时间最短？这就是时间最优轨迹规划（Time-Optimal Path Parameterization，TOPP）要解决的核心问题。今天这篇笔记，我就把TOPP的数学原理、凸优化求解方法，以及我在实际部署中踩过的坑，一次性讲透。
路径参数化：把“时间”从轨迹里抽出来
先建立一个直觉。一条轨迹通常写成位置关于时间的函数 q(t)，但TOPP的思路反过来了：先固定一条几何路径 q(s)，其中 s 是路径参数（比如弧长或者归一化参数，范围 [0, s_end]），然后我们只关心 s 随时间 t 怎么变化。换句话说，q(s) 是空间形状，s(t) 是时间律。这样一来，速度可以写成 q’(s)·ṡ，加速度写成 q’‘(s)·ṡ² + q’(s)·s̈。注意这里 q’(s) 和 q’'(s) 是路径的几何导数，跟时间无关，可以提前算好。
把关节速度、加速度约束代入，经过一番代数整理（这里不推公式了，教科书上都有），你会发现所有约束都能写成关于 [ṡ, s̈] 的线性
