34、多项式同余与相关代数结构研究

多项式同余与相关代数结构研究

1. 多项式同余

在本节中，$F$ 表示一个域。对于多项式 $a, b, n \in F[X]$，当 $n | (a - b)$ 时，我们记为 $a \equiv b \pmod{n}$。由于多项式具有带余除法性质，有如下定理：
-定理 17.12：设 $n \in F[X]$ 为非零多项式。对于每个 $a \in F[X]$，存在唯一的 $b \in F[X]$ 使得 $a \equiv b \pmod{n}$ 且 $\deg(b) < \deg(n)$，即 $b := a \bmod n$。
对于非零的 $n \in F[X]$ 和 $a \in F[X]$，若 $aa’ \equiv 1 \pmod{n}$，则称 $a’ \in F[X]$ 是 $a$ 模 $n$ 的乘法逆元。以下是一些关于多项式同余的重要定理：
-定理 17.13：设 $a, n \in F[X]$ 且 $n \neq 0$。则 $a$ 模 $n$ 有乘法逆元当且仅当 $a$ 和 $n$ 互质。
-定理 17.14：设 $a, n, z, z’ \in F[X]$ 且 $n \neq 0$。若 $a$ 与 $n$ 互质，则 $az \equiv az’ \pmod{n}$ 当且仅当 $z \equiv z’ \pmod{n}$。更一般地，若 $d := \gcd(a, n)$，则 $az \equiv az’ \pmod{n}$ 当且仅当 $z \equiv z’ \pmod{n/d}$。
-定理 17.15